ECUACIONES LOGARITMICAS

Introducción

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita se encuentra en el argumento de logaritmos. Su resolución se reduce, en realidad, a la resolución de ecuaciones del estilo de las expresiones algebraicas de los argumentos (por ejemplo, ecuaciones de segundo grado, irracionales, bicuadradas, exponenciales, etc.). También podemos encontrar ecuaciones en las que la incógnita se encuentra en la base de los logaritmos o en los exponentes de sus argumentos, pero nosotros no las resolveremos en esta página (salvo alguna excepción).

En esta página proporcionamos una colección de ecuaciones logarítmicas y sistemas resueltos, ordenada en orden creciente de dificultad. En la mayoría de los logaritmos no se especifica la base porque presuponemos que es 10, aunque debemos decir que en la mayoría de los textos científicos se considera, si no se indica lo contrario, que la base es e (es decir, logaritmo natural).

Además, al final de la página demostramos las propiedades de los logaritmos: logaritmo del producto, del cociente, de la potencia y el cambio de base.

Antes de comenzar con los ejercicios, recordamos la definición de logaritmo y sus propiedades:

$$lo{g}_b\left(a\right)=c\iff b^c=a$$

• Logaritmo del producto:
  $${\log }_b(x\cdot y)={\log }_b\left(x\right)+{\log }_b\left(y\right)$$
• Logaritmo del cociente:
  $${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b\left(x\right)-{\log }_b\left(y\right)$$
• Logaritmo de una potencia:
  $${\log }_b\left(x^y\right)=y\cdot {\log }_b\left(x\right)$$
• Cambio de base:
  $${\log }_b\left(x\right)=\frac{{\log }_c\left(x\right)}{{\log }_c\left(b\right)}$$
• Razonamiento esencial para resolver las ecuaciones:
  $${\log }_b\left(x\right)={\log }_b\left(y\right)\Rightarrow x=y$$

Ahora estamos preparados para resolver algunos ejercicios.

Ecuación 1:

log(x) + log(20) = 3

Lo primero que hacemos es escribir el número 3 como un logaritmo en base 10:

$$\log \left(1000\right)=\log \left({10}^3\right)=3$$

La ecuación que queda es:

$$\log x+\log 20=\log 1000$$
$$\log x=\log 1000-\log 20$$
Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos:
$$\log x=\log \left(\frac{1000}{20}\right)$$
$$\log x=\log 50$$

Tenemos una igualdad entre logaritmos (en la misma base), entonces los argumentos (lo de dentro) tienen que ser iguales:

log x = log 50  → x = 50

$\mathrm{La\; solución\; es\; x}=50$.

Ecuación 2:

Escribimos 1 como el logaritmo log10:

Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:

Comprobamos si los argumentos de los logaritmos son positivos cuando x=20$\mathrm{:<span\; style="font-family:\; "arial"\; ,\; sans-serif;"><o:p></o:p></span>}$

$$

Ecuación 3:

Escribimos 1 como el logaritmo  log10$\text{:<span class="mjxassistivemathml"><span style="border: none windowtext 1.0pt; color: black; font-family: "Arial",sans-serif; font-size: 14.5pt; line-height: 107\%; mso-border-alt: none windowtext 0cm; padding: 0cm;"> <mi></mi></span></span><span style="font-family: "Arial",sans-serif;"><o:p></o:p></span>}$

$$

Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:

Comprobamos que los argumentos son positivos para la solución obtenida:

La solución de la ecuación logarítmica es x=4.

 PROBLEMA 1:

PROBLEMA 2:

PROBLEMA 3:

REFERENCIAS:

Castillo Cordero, E. H. (2012). Comprensión de logaritmos en estudiantes del cuarto grado de la Institución Educativa Secundaria “Santa Rosa” Puno - 2010.

Morales Martínez, Z. E. (2013). Análisis de las transformaciones de las representaciones semióticas en el estudio de la función logarítmica en la educación escolar.